可持久化并查集（一）——从阿克曼函数到镜像

noip2010 以下题目可以跳过。

关押罪犯

(prison.pas/c/cpp) 【问题描述】 S 城现有两座监狱，一共关押着N 名罪犯，编号分别为1~N。他们之间的关系自然也极不和谐。很多罪犯之间甚至积怨已久，如果客观条件具备则随时可能爆发冲突。我们用“怨气值”（一个正整数值）来表示某两名罪犯之间的仇恨程度，怨气值越大，则这两名罪犯之间的积怨越多。如果两名怨气值为c 的罪犯被关押在同一监狱，他们俩之间会发生摩擦，并造成影响力为c 的冲突事件。 每年年末，警察局会将本年内监狱中的所有冲突事件按影响力从大到小排成一个列表，然后上报到S 城Z 市长那里。公务繁忙的Z 市长只会去看列表中的第一个事件的影响力，如果影响很坏，他就会考虑撤换警察局长。 在详细考察了N 名罪犯间的矛盾关系后，警察局长觉得压力巨大。他准备将罪犯们在 两座监狱内重新分配，以求产生的冲突事件影响力都较小，从而保住自己的乌纱帽。假设只要处于同一监狱内的某两个罪犯间有仇恨，那么他们一定会在每年的某个时候发生摩擦。那么，应如何分配罪犯，才能使Z 市长看到的那个冲突事件的影响力最小？这个最小值是多少？ 【输入】 输入文件名为prison.in。输入文件的每行中两个数之间用一个空格隔开。 第一行为两个正整数N 和M，分别表示罪犯的数目以及存在仇恨的罪犯对数。 接下来的M 行每行为三个正整数aj，bj，cj，表示aj 号和bj 号罪犯之间存在仇恨，其怨 气值为 cj。数据保证 a b N j j 1 ≤ < ≤ ，0 < ≤ 1,000,000,000 j c ，且每对罪犯组合只出现一 次。 【输出】 输出文件prison.out 共1 行，为Z 市长看到的那个冲突事件的影响力。如果本年内监狱中未发生任何冲突事件，请输出0。

【输入输出样例】 prison.in、 4 6 1 4 2534 2 3 3512 1 2 28351 1 3 6618 2 4 1805 3 4 12884 prison.out 3512

【输入输出样例说明】 罪犯之间的怨气值如下面左图所示，右图所示为罪犯的分配方法，市长看到的冲突事件 影响力是3512（由2 号和3 号罪犯引发）。其他任何分法都不会比这个分法更优。 【数据范围】 对于30%的数据有N≤ 15。 对于70%的数据有N≤ 2000，M≤ 50000。 对于100%的数据有N≤ 20000，M≤ 100000。

题解

二分暴力可以过，然而我用并查集。开一个镜像 N来代表当f[x]!=f[y]时若将其连接的情况。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[60010],n,m;
struct node{
	int x,y,z;
	bool operator < (const node &rhs)const {return z>rhs.z;}
}p[100010];
int find(int x){return f[x]==x?x:x=find(f[x]);}
int main(){
	freopen("prison.in","r",stdin);freopen("prison.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n*2+10;i++)f[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].z);
	sort(p+1,p+1+m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=find(p[i].x),y=find(p[i].y);
		if(x==y){cout<<p[i].z<<endl;return 0;}
		f[x]=find(p[i].y+n),f[y]=find(p[i].x+n);
	}
	cout<<0<<endl;
	return 0;
}

正题 重点

通过上面的一道noip半水题，我们可以发现一个问题，就是并查集的复杂度？不是O（n）吧。 阿克曼函数普及并查集知识。 http://blog.csdn.net/?aspxerrorpath=/youngyangyang04/article/details/7453564 正常来说，并查集的复杂度是很优的，至少比二分贪心O(\(nlog_2^n\))要好很多。 并查集进行n次查找的时间复杂度是O(n )（执行n-1次合并和m≥n次查找）。其中 是一个增长极其缓慢的函数，它是阿克曼函数（Ackermann Function）的某个反函数。它可以看作是小于5的。所以可以认为并查集的时间复杂度几乎是线性的。

镜像

这个中二的名字就是接下来我要重点讲诉的东西，它以多一倍的空间表示了在原有基础上，i的i'（虚拟id），如果任何j指向i时都指向i'那么i变动时不就不会印象j的指向? 预知后事如何，请看下回分解： 可持久化并查集（二）——从镜像到动态